Sunto di analisi a cura di Raffaello Curtatone

NUMERI E FUNZIONI

NUMERI NATURALI –   N = (0,1,2,3,4,5,…)                    )    gli insiemi (N,Z,Q) sono

NUMERI INTERI -  Z = (-3,-2,-1,0,1,2,3,…)                       )    equipotenti o infiniti numerabili.

NUMERI RAZIONALI – Q =                 )

NUMERI REALI – R =  insieme infinito non numerabile (non è possibile mettere in corrispondenza biunivoca i numeri di questo insieme con quelli dell’insieme N).

IRRAZIONALITA’ DI RADICE DI 2 – per assurdo è razionale, dunque ipotizzo = a due numeri primi tra loro, anche perché se non lo fossero posso ricondurmi al caso in cui lo sono (ad esempio raccogliendo), elevando al quadrato ,  è divisibile per 2 e confrontando gli sviluppi anche p è divisibile per 2, p=2s, dunque  e  quindi è divisibile per 2 anche q è divisibile per 2 dunque non sono più primi tra loro, una contraddizione.

INSIEME LIMITATO SUPERIORMENTE – si dice quando un insieme A di numeri reali ammette almeno un numero reale k che non è minore di nessun numero di A, dirò che k è un maggiorante di A (è chiaro che se c’è un maggiorante ce ne sono infiniti in quanto ogni numero > di k è anch’esso maggiorante) il più piccolo dei maggioranti è un numero L detto estremo superiore che non necessariamente appartiene ad A, ne caso ci appartenga L è il massimo di A.

INSIEME LIMITATO INFERIORMENTE – si dice quando esiste almeno un numero h minore di tutti i numeri di A, esso viene detto minorante di A, il più grande dei minoranti è un numero l detto estremo inferiore che non necessariamente appartiene all’insieme A, nel caso ci appartenga dirò che l è il suo minimo.

Estremo superiore = minimo dei maggioranti = sup.

Estremo inferiore = massimo dei minoranti = inf.

ASSIOMA DI CONTINUITA’ – ogni sottoinsieme A non vuoto di R limitato superiormente ha estremo superiore, cioè vi è un numero reale b tale che b = sup A.

DISTANZA TRA DUE PUNTI – dati due punti x,y appartenenti ad R la distanza di x da y è il numero d(x,y):=½x-y½ esso risponde alle seguenti proprietà:

½x-y½>=0 e ½x-y½=0 se e solo se x=y

2° Simmetria ½x-y½=½y-x½

3° Disuguaglianza triangolare ½x-y½<=½x-z½+½z-y½

INTERVALLO APERTO – dati due numeri reali a,b l’insieme di tutti i numeri reali compresi tra a e b esclusi si chiama intervallo aperto, si scrive ]a,b[.

INTERVALLO CHIUSO – dati due numeri reali a,b l’insieme di tutti i numeri reali compresi tra a e b inclusi si chiama intervallo chiuso, si scrive [a,b].

FUNZIONE – legge che associa ad ogni valore x appartenente ad A uno ed un solo valore y appartenente a B.

DOMINIO – insieme su cui è definita la funzione.(campo di esistenza)

CODOMINIO – insieme su cui è definita l’immagine della funzione.

FUNZIONE CONTINUA- 1° Continuità in un punto – f(x)® per x®, - 2° Continuità in un intervallo – una funzione reale f(x), x Î (a,b) si dice continua in (a,b) se è continua in ogni punto di (a,b).

FUNZIONE MONOTONA CRESCENTE – funzione definita in un intervallo (a,b) dove " () appartenenti ad esso si ha, se è strettamente crescente.

FUNZIONE MONOTONA DECRESCENTE – funzione definita in un intervallo (a,b) dove " () appartenenti ad esso si ha, se è strettamente decrescente.

Sia f una funzione (legge) che associa ad ogni punto di x uno, e uno solo, punto di y si hanno:

FUNZIONE INIETTIVA – al più un punto di x per ogni y.

FUNZIONE SUIETTIVA – almeno un punto di x per ogni y.

FUNZIONE BIIETTIVA – uno ed un solo punto di x per ogni y.

ASSE CARTESIANO – la posizione di un punto P sulla retta si può rappresentare con un numero reale. Si fissano due punti O detta origine e detta unità ai quali si assegnano i numeri 0 e ad ogni altro numero P si assegna poi il rapporto delle distanze con segno positivo se P è dalla stessa parte dirispetto all’origine O, con segno meno se P è dalla parte opposta.

PIANO CARTESIANO – se si fissano due vettori enon allineati con lo stesso punto di applicazione O si può ricostruire la posizione di ogni punto P del piano mediante l’intersezione tra la retta pere la parallela aper P e l’intersezionetra  e la parallela per P a , e quindi mediante le coordinate x die y di. In genere si usa un riferimento cartesiano ortonormale in cui cioèesono perpendicolari tra di loro, disegnarein orizzontale orientata verso destra, chiamare ascissa la propria coordinata e indicarla con la lettera x, disegnarein verticale orientata verso l’alto, chiamare ordinata la propria coordinata e indicarla con la lettera . 

SPAZIO CARTESIANO – se si fissano tre vettori,, non complanari con lo stesso punto di applicazione O. Si può ricostruire la posizione di ogni punto P dello spazio mediante la proiezione di questo su uno dei tre piani individuato dai tre vettori procedendo in modo analogo a quello per individuare un punto nel piano per trovare le prime due coordinate; la terza è data dall’intersezione tra la retta per e il piano parallelo a quello di riferimento comprendente il punto P, quindi mediante le coordinate z di. In genere anche nello spazio si usa un sistema di riferimento ortonormale dove,, sono perpendicolari tra di loro.

GRAFICO DI UNA FUNZIONE – insieme di punti generati dalle coppie (x,f(x)) sul piano cartesiano.

FUNZIONE PARI – (o simmetrica rispetto all’asse delle ordinate) è quando f(x) = f(-x).

FUNZIONE DISPARI – (o simmetrica rispetto all’origine) è quando f(x) = -f(-x).

FUNZIONE INVERSA –sia x Î A, f(x) Î B e f una funzione tale che f: x®f(x)la funzionetale che:(f(x))®x viene detta inversa di f ovvero se f associa " elemento di A uno e un solo elemento di B, la funzioneassocia " elemento di B uno e uno solo elemento di A, graficamente viene ottenuta ribaltando la funzione rispetto all’asse a 45°, si può invertire solo le funzioni iniettiva(in parte) e biiettiva(totalmente).

FUNZINE COMPOSTA – sia f: x®y e g: y®z, la funzione h: x®z è detta “composta” e si indica anche con h= g(f(x)).

LIMITI DI FUNZIONI

CONCETTO DI LIMITE – data una funzione y=f(x) definita in un intervallo [a,b] si dice che per x® la funzione tende ad un limite L se " positivo arbitrario qualunque, si può trovare in corrispondenza un intorno di  = ] -d, +d[ tale che per ogni x di esso si abbia ½f(x)-L½<, si scrive= L.

VERIFICA DEL LIMITE – (esempi e definizione matematica)

1° Limite +¥  data una funzione y = f(x) definita in un intervallo [a,b] si dice che per x® f(x)®+¥ se "M positivo arbitrario, si può trovare in corrispondenza un intorno di x0 ] -d,+d[ tale che  "x di esso, escluso , si abbia f(x)>M, si scrive= +¥.

2° Limite –¥  data una funzione y = f(x) definita in un intervallo [a,b] si dice che per x® di f(x)®-¥ se "M positivo arbitrario, si può trovare in corrispondenza un intorno di x0: ] -d,+d[ tale che " x di esso, escluso , si abbia f(x)<-M, si scrive= -¥.

3° Limite a +¥  data una funzione y = f(x) per x che diverge a destra si dice che lim per x®+¥ di f(x) = L se " positivo, arbitrario $ M>0 tale che " x>M si ha½f(x)-L½< di, si scrive = L.

4° Limite a -¥  data una funzione y = f(x) per x che diverge a sinistra si dice che lim per x®-¥ di f(x) = L se " positivo arbitrario $ K>0 tale che " x<K si ha½f(x)-L½< di, si scrive = L.

5° Limite +¥ per x®+¥  data una funzione y = f(x) per x che diverge a destra si dice che lim per x®+¥ di f(x)®+¥ se     " M>0 $ K>0 tale che " x>K si ha f(x)>M, si scrive = +¥.

6° Limite -¥ per x®-¥  data una funzione y = f(x) per x che diverge a sinistra si dice che lim per x®-¥ di f(x)®-¥ se "M>0 $ K>0 tale che " x<-K si ha f(x)<-M, si scrive = -¥.

UNICITA’ DEL LIMITE–il limite se esiste è unico, dunque dove esistono il limite sinistro deve essere = a quello destro

LIMITATEZZA – se il= L allora $ un intorno di in cui la funzione è limitata.

LIMITE DESTRO E LIMITE SINISTRO – quando si fa tendere la x a è quello destro e a  è il sinistro.

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO – sia una funzione continua in un intervallo [a,b] con limite L per x® positivo(rispettivamente negativo), $ un intorno di  in cui la funzione è positiva (rispettivamente negativa).

CRITERIO DEL CONFRONTO – siano f(x) e g(x), xÎ (a,b) due funzioni se g(x)®¥ per x®, x Î (a,b) e g(x) <= f(x) per ogni x dell’intervallo allora f(x)®¥ per x®.

SOMMA DI LIMITI – la somma di un limite è = al limite della somma; (dimostrazione)

= L e= M dunque , procediamo con la verifica dei limiti: per f(x) si ha: ">0 $>0 tale che½x-½<®½f(x)-L½< e per g(x): ">0 $>0 tale che½x-½<®½f(x)-M½<e per la somma dei due abbiamo: ">0 $d>0 tale che ½x-½<d®½f(x)+g(x)-L-M½<2(dove d è il minimo trae), per l’arbitrarietà diposso prenderlo =  rispettando le condizioni.

 PRODOTTO DI LIMITI - il prodotto di un limite è = al limite del prodotto (se esistono i due limiti).

QUOZIENTE DI LIMITI - il quoziente di un limite è = al limite del quoziente(ammesso che esistono i due limiti e posto il valore del denominatore¹ da 0).

ESPONENZIALE DEL LIMITE - il limite dell’esponenziale è = all’esponenziale del limite.

TEOREMA DEL SANDWICH – sia g(x) una funzione compresa tra f(x) e h(x) " x Î (a,b) e il= L  e il = L, allora il = L. (dimostrazione) ">0 $ d>0 tale che " x appartenente ad (a,b) ½f(x)-L½<, ">0 $ d>0 tale che " x appartenente ad (a,b) ½h(x)-L½<, quindi L-<f(x)<L+ e L-<h(x)<L+, dunque L-<f(x)<g(x)<h(x)<L+ allora l-<g(x)<l+ quindi

QUOZIENTE DI FUNZIONI INFINITESIME – un infinitesimo è un “qualcosa” talmente piccolo da non poter essere afferrato, nel rapporto tra funzioni infinitesime è rilevante per il risultato la funzione infinitesima di ordine superiore, cioè quella che tende a 0 più velocemente.

QUOZIENTE DI FUNZIONI INFINITE –un infinito è un “qualcosa” talmente grande da non poter essere afferrato, nel rapporto tra funzioni infinitesime è rilevante per il risultato la funzione infinita di ordine superiore, cioè quella che tende a ¥ più velocemente.

FORME INDETERMINATE –, si risolvono con vari metodi applicando di volta in volta quello più opportuno per togliere l’indeterminazione.

LIMITI DI FUNZIONI MONOTONE – se una funzione f definita in (a,b) è crescente allora il lim x® di f(x) = sup f(x), x appartenente (a,b[ e lim x® di f(x) = inf di f(x), x appartenente ]a,b); se f è decrescente lim x® di f(x) = sup di f(x), x appartenente ]a,b) e lim x® di f(x) = inf di f(x), x appartenente (a,b[.

FUNZIONI CONTINUE

P.S. – una funzione continua trasforma intervalli in intervalli.

CONTINUITA’ A SINISTRA – la funzione è continua alla sinistra di , facendo tendere la x®

CONTINUITA’ A DESTRA – la funzione è continua a destra di , facendo tendere la x®

FUNZIONI DISCONTINUE – sia f una funzione definita in un intervallo(a,b), ma non esiste il limite per x®, (ad esempio quando il limite destro è ¹ dal sinistro oppure almeno uno dei due non esiste)la funzione non è continua.

DISCONTINUITA’ ELIMINABILI – la funzione inassume un valore ¹ dal limite di essa per x®, la discontinuità viene eliminata dando alla funzione un valore opportuno nel punto di discontinuità.

DISCONTINUITA’ DI 1 SPECIE – detta a salto, il limite destro è ¹ dal limite sinistro.(valori finiti)

DISCONTINUITA’ DI 2 SPECIE – uno dei due limiti risulta ¥ o non esiste.

CONTINUITA’ DELLA SOMMA –          )

CONTINUITA’ DEL PRODOTTO –         ) la somma, il prodotto, la differenza e il quoziente(salvo i punti dove il

CONTINUITA’ DELLA DIFFERENZA – )denominatore si annulla) sono ancora funzioni continue per le proprietà del

CONTINUITA’ DEL RAPPORTO -           )limite della somma, del prodotto, della differenza e del quoziente.

CONTINUITA’ DELLA FUNZIONE COMPOSTA – la composizione di due funzioni continue è una funzione continua nel campo di esistenza comune ad entrambe.

CONTINUITA’ DELL’INVERSA – sia f: (a,b)®R una funzione monotona. f è continua in tutti i punti di (a,b) se e solo se f(a,b) è un intervallo. Dunque se f è strettamente monotona e continua, l’immagine (c,d) = f(a,b) è un intervallo. La funzione inversa: (c,d)®(a,b) è monotona, è definita su un intervallo ed ha immagine l’intervallo (a,b). E’ quindi continua per quanto detto prima, inoltre se è continua e invertibile in tutti i punti di (a,b) f è strettamente monotona. 

SURIETTIVITA’ DELLE FUNZIONI CONTINUE – sia f una funzione continua in un intervallo (a,b) con o senza gli estremi, per l’assioma di continuità se f è limitata sicuramente ha inf e sup e se inf<y<sup allora $ almeno un x (dunque anche più di uno) per cui si ha f(x) = y dirò che f è suriettiva su ]inf f(x),sup f(x)[. 

MASSIMI DI UNA FUNZIONE – sia f definita in (a,b) e  un punto di (a,b) tale che " valore di f(x) si ha f(x)f() dirò che  è un massimo della funzione, il massimo relativo è quando  ad un intorno di x0 Ì (a,b).

MINIMI DI UNA FUNZIONE – sia f definita in (a,b) e  un punto di (a,b) tale che " valore di f(x) si ha f(x) f() dirò che  è un minimo della funzione, il minimo relativo è quando  ad un intorno di  Ì (a,b).

TEOREMA DEGLI ZERI – sia f(x), x appartenente [a,b] una funzione continua in [a,b] se f(a)*f(b)<0 allora $ almeno un punto  appartenente ad [a,b] in cui f() = 0 (dimostrazione) f(a)*f(b)<0 Þ suppongo che f(a)<0 e f(b)>0, indico con E{x appartenenti [a,b] tali che f(x)<0} dunque E è non vuoto (f(a)<0) e ha un maggiorante(ogni punto di E è f(b)) perciò ricordando l’assioma di continuità della retta E ha sup. Affermo che f()=0 infatti se f()<0, evidentemente . Inoltre per la permanenza del segno nell’intervallo destro di  f(x) sarebbe negativa. Ci sarebbero punti di E>0 in contraddizione con la definizione di E. Se f()>0 allora non può essere = a e sempre per la permanenza del segno nell’intervallo sinistro ]-,[ di in cui f(x) sarebbe strettamente positiva dunque tutti i punti di E sarebbero < di -d (nuovo maggiorante) in contraddizione con la definizione di , non resta che la soluzione f() = 0.

TEOREMA DI WEIERSTRASS – una funzione continua in [a,b] ammette massimo e minimo, inoltre se f(x) definita su tutto R tende a +¥ per x®±¥ sicuramente f ha minimo.

TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI – sia f una funzione continua in un intervallo [a,b], essa assume tutti i valori tra il minimo e il massimo.

DERIVATA

CONCETTO DI DERIVATA – sia f una funzione definita in (a,b) con (,) Î (a,b), il rapporto rappresenta il tasso d’incremento della funzione nell’intervallo(x, ); al tendere di si ha la “variazione istantanea” della funzione rispetto ad x o derivata prima di f rispetto ad x.

DERIVATA DI UNA FUNZIONE – è il limite, se esiste, per h®0del rapporto incrementale di .

SIGNIFICATO GEOMETRICO – è il valore del coefficiente angolare della retta tangente al grafico nel punto .

EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE – se f(x) è derivabile in  allora la retta di equazione y=f()+f’() * (x-) si chiama retta tangente al grafico.

PROCEDURA DI SCOPPIAMENTO – se una funzione è derivabile in , pensando di guardarla con un microscopio sempre più potente centrato in  ci si accorge che la funzione tende a raddrizzarsi fino a diventare una retta non verticale y = mx.

DIFFERENZIALE – data una funzione f definita in [a,b] si dice differenziale di f nel punto  il prodotto della derivata della funzione calcolata in quel punto per l’incremento della variabile x. Ovvero f ’()*Dx.

FUNZIONE DIFFERENZIALE –è la funzione g(x) = f ’() (x-). Non ci si limita ad un Dx, ma si considera tutta la retta che ha come pendenza la derivata nel punto .

FUNZIONE LINEARE APPROSSIMANTE –la retta che meglio approssima la funzione è la tangente.

DERIVATA DESTRA – è il limite del rapporto incrementale facendo tendere x®x0+ (semiretta tangente destra).

DERIVATA SINISTRA –è il limite del rapporto incrementale facendo tendere x®x0- (semiretta tangente sinistra).

CONTINUITA’ E DERIVABILITA’ – una funzione derivabile è anche continua, ma una funzione continua non è detto che sia derivabile (punti critici).

DERIVATA DELLA SOMMA – è uguale alla somma delle derivate.

DERIVATA DEL PRODOTTO –(dimostrazione)aggiungo e tolgo f(x)*g(x+h) e metto in evidenza una volta g(x+h) e f(x) dunque ottengodi qui ottengo la regola è D f*g = Df*g + f*Dg.

DERIVATA DEL QUOZIENTE –(dimostrazione) svolgendo i calcoli aggiungo e tolgo f(x)*g(x) ottenendo  da qui la regola è D f/g = (Df*g – f*Dg)/g^2

DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA –la regola è D f(g(x)) = Df * Dg.

DERIVATA DELLA FUNZIONE INVERSA – sia f (a,b) continua e strettamente monotona derivabile in Î (a,b) e  f ’() ¹ 0 allora vale la regola . Si dimostra sapendo che l’intervallo generalizzato (c,d) dell’immagine della funzione, continuo anch’esso, ha rapporto incrementale finito per f(x)®f() (e ricordandosi che il grafico della funzione inversa è il grafico della funzione visto dall’asse delle ordinate.

PUNTI DI MASSIMO – un punto  si dice di massimo se $ un intorno I tale che f(x) £ f() " x Î I.

PUNTI DI MINIMO – un punto  si dice di minimo se$ un intorno I tale che f(x) ³ f() " x Î I.

PUNTI CRITICI – punti con tangente verticale o spigolosi.

TEOREMA DI FERMAT– sia f: (a,b)®R e sia un punto di massimo o di minimo relativo interno ad (a,b), se f è derivabile inallora f ’() = 0. (dimostrazione) sia  un massimo relativo interno: Î ]a,b[ ed $ d>0 tale che se êx-ê< d e x Î (a,b) allora f(x) £ f(). Il rapporto incrementale è ³ 0 per -d< x < e £0 per  < x < +d essendo f derivabile in  si può mandare al limite il rapporto incrementale che per x®è £ 0 e per x®è ³ 0 dal teorema della permanenza del segno segue che f ’() = 0. (versione simile per  minimo)

TEOREMA DI ROLLE –sia g continua in [a,b] derivabile in ]a,b[ inoltre g(a)=g(b) allora $ un punto ]a,b[ tale che  g ’(x) = 0. (dimostrazione) essendo g continua in [a,b] per il teorema di Weierstrass, essa ha sia massimo che minimo, se entrambi questi punti stanno sul borbo di [a,b] allora ovviamente g è costante ed ogni x Î ]a,b[ va bene, se invece almeno uno dei due non sta sul bordo quindi è interno per il teorema di Fermat in questo punto la derivata 1° è = 0.

TEOREMA DI LAGRANGE – (del valore medio)sia f continua in [a,b] derivabile in ]a,b[, $ un punto x appartenente ]a,b] tale che f(x) = ovvero unendo i due punti del grafico di coordinate a=(a,f(a)) e b=(b,f(b)) $ un punto x in cui la derivata ha la stessa tangenza della retta ottenuta dalla congiunzione dei due punti.  

REGOLE DI DE L’HOPITAL – si applicano alle forme indeterminate del tipo 0/0, ¥/¥; si deriva numeratore e denominatore fino a togliere l’indeterminazione.

FORMULA DEGLI ACCRESCIMENTI FINITI –

APPROSSIMAZIONE DI UNA FUNZIONE CON UN POLINOMIO – sia f(x) derivabile in (a,b) è possibile affermare che f(x) @ f()+f ’()*(x-) dove con il simbolo @ si intende che la differenza tra il 1° e il 2° membro chiamata (x) (resto di ordine 1), tende a 0 più rapidamente di (x-) ovvero il .

FORMULA DI TAYLOR –sia f(x) derivabile n volte, la formula f(x) =approssima la funzione nel punto con approssimazione di un infinitesimo di ordine n, si può dimostrare, supponendo che la derivatasia continua in  ricavando , che il limite per x®presenta una forma indeterminata del tipo e che applicando il teorema dell’Hopital n volte ci si riconduce a che è = 0 perché è continua in.

NUMERO E – Il numero e è dato dalla successione per n®+¥ diche è strettamente crescente e limitata dunque esiste il limite ed è reale (si può dimostrare che è irrazionale) detto anche numero di Nepero approssimato alle prime 10 cifre vale 2.7182818244 .

COEFFICIENTE DI PROPORZIONALITA’ –è la proporzione  con cui cresce la funzione rispetto alla variazione della funzione in un intervallo. La funzionecresce con tasso di proporzionalità pari a se stesso (uguale ad 1).

INTEGRALI

METODO DI ESAUSTIONE – per misurare l’area di un campo di perimetro A si fissano dei punti in A che approssimano il perimetro formando un poligono P, se i punti sono stati scelti con cura la differenza di ADP è trascurabile  e l’area di A viene assunta = a P in modo da ridursi a calcolare l’area di poligoni.

DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN–sia f una funzione limitata in [a,b]®R, se ">0 fissato a piacere $ una partizione di [a,b] abbastanza fine tale che la somma delle aree superiori - la somma delle aree inferiori è < di  allora f si dice integrabile secondo Riemann. Il limite inferiore delle aree superioririsulta allora uguale al limite superiore delle aree inferiori ed è per definizione l’integrale di f secondo Riemann o integrale di f in [a,b].

CRITERIO D’INTEGRABILITA’ – sia f una funzione reale e sia [a,b], a<b un intervallo contenuto nel suo dominio; sia inoltre f limitata in [a,b]. Allora f  è integrabile su [a,b] se e solo se " >0 $ suddivisione s di [a,b] tale che se S(f,s) – s(f,s) < .

FUNZIONI CONTINUE MONOTONE – ogni funzione f (a,b) monotona è integrabile in [a,b].

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI–sono integrabili se i tratti di discontinuità sono in numero finito e se sono limitate.

PRIMITIVE – un metodo per il calcolo degli integrali definiti è quello di conoscere una primitiva F di una funzione continua in [a,b] per cui poiché la primitiva è quella funzione che derivandola dà come risultato la funzione integranda, (deve essere derivabile nel punto di integrazione e nell’intervallo non derivabile per un numero finito di punti)  = F(b)-F(a) ovvero F(t)(valutato tra a e b), dove F(t) è la primitiva di F(t).

PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE –se f(x) e g(x) sono due funzione integrabili in (a,b) allora:  1° - la somma e il prodotto delle due è integrabile,   2° - se è limitata allora anche è integrabile, 3°  - ½f(x)½è integrabile,                4° - max(f(x),g(x))  min(f(x),g(x)) sono integrabili, 5° - =                            6°- ½½£,  7°- = + .

1° TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE –(valore medio o media integrale) se f:[a,b] è integrabile in [a,b] il numero si chiama media integrale di f.

2° TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE –(relazione con la derivata) sia f integrabile in [a,b] e sia F(x):=, xÎ [a,b], la funzione integrale: 1° - se f è continua inÎ [a,b], allora F è derivabile in  e si ha F ’di =f(), 2° - se f è continua in [a,b] e se G(x) (xÎ[a,b]) è una funzione derivabile con G’(x) = f(x) " x Î [a,b] allora = G(b)-G(a).

PROPRIETA’ LIPSCHITZIANA – funzione che ha il rapporto incrementale limitato.

CRITERIO DI LIPSHITZIANITA’ – se f è sia derivabile che limitata in [a,b] allora f è lipschitziana.

INTEGRAZIONE DIRETTA – quando è nota la primitiva della funzione integranda si calcola la primitiva tra i due estremi (nel caso vi siano) ottenendo immediatamente il risultato.

INTEGRALE IMPROPRIO O GENERALIZZATO – sia f (a,+¥)®R integrabile, allora; quando la funzione f (a,+¥)®R non è integrabile o integrabile su (a,x) " x>a ed entrambi gli integrali su (a,+¥) delle parti positive  sono infiniti, può accadere che esista finito il in tal caso si dice che f ha integrale improprio all’infinito. Si possono distinguere tre casi: 1° - funzioni limitate su un intervallo limitato, 2° - funzioni limitate su un intervallo illimitato, 3° - caso 1° + 2°.

CRITERIO DEL CONFRONTO PER INTEGRALI IMPROPRI – siano f(x) e g(x) continue in (a,b) con f(x)£g(x), allora, se la seconda è integrabile lo è anche la prima, se lo è la prima non è detto che lo sia anche la seconda.

INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE –la regola di derivazione delle funzioni composte da luogo ad un importante formula : sia f continua in [a,b] con derivata continua si haoccorre che g(t) sia invertibile e il risultato finale in funzione di x si ottiene sostituendo t =può non risultare necessario invertire g, per la derivata della composta avremmo  = F’(g(t))*g’(t) = f(g(t))*g’(t) pertanto l’integrale risulta F(g(t))+c. se x = g(t) la quantità dx = g’(t)dt (che è una funzione delle due variabili t,dt) si chiama differenziale della funzione g(t) e si indica con dx (nell’integrale definito gli estremi si ottengono differenziandoli rispetto al nuovo differenziale).

INTEGRAZIONE PER PARTI – se in un intervallo f,g sono due funzioni derivabili con derivata continua la regola di derivazione del prodotto di due funzioni da luogo ad un’altra formula: (f*g)’= f ’(x)*g(x)+f(x)*g ’(x), integrando su [a,b] e applicando il teorema fondamentale del calcolo si ha chiameremo g(x) il fattore finito e f(x) il differenziale(P.S.: è importante che la derivata sia continua).

INTEGRAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALI –un rapporto tra un polinomio di grado m ed un altro di grado n si dice improprio quando m³n e proprio quando m<n, nel caso tale frazione sia propri si risolve con questo metodo:

1° - scomposizione del polinomio in fattori, 2° - minimo comune multiplo, 3° - si risolve il sistema, 4° - si sostituisce i valori nell’integrale risolvendolo, nel caso in cui m³n vale la regoladove q ed r sono rispettivamente resto e quoziente della frazione.

DECOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO IN FATTORI – 1°(3 radici): d(x)=® , 2°(2 radici(1 doppia)): d(x)= ®, 3° d(x)= ®.

CALCOLO DI CENTRI DI MASSA - si abbiano  , la formula:   (oppure con)segue  con 0 = origine scelta a piacere, serve per calcolare il centro di massa per un sistema discreto di n punti materiali. Nel continuo (preso ad esempio un corpo C) al posto della massa si usa una funzione di densità  per cui data una qualunque regione D Ì C la massa D è data dae la massa totale del corpo (DºC) è, il centro di massa vale (sostituendo la sommatoria con l’integrale e la massa con)

 

CALCOLO DEL MOMENTO D’INERZIA –(di un’asta rispetto ad un’asse)il momento dell’inerzia vale: I=; la massa dell’asta è data dalla densità per la sua lunghezzadunque sempre sostituendo la somma con l’integrale si ha:per cui se la lunghezza dell’asta è l si ha=.

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